复数
定义
有序实数对
\[\mathbb{C}\coloneqq\left\{ (x,y):(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\right\}\] \[(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\coloneqq(x_{1}+x_{2},\ y_{1}+y_{2})\] \[(x_{1},y_{1})\times(x_{2},y_{2})\coloneqq(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\ x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\] \[1\equiv(1,0),\quad \sqrt{-1}\equiv(0,1)\]
反对称实数矩阵
\[\mathbb{C}\coloneqq\left\{ \begin{bmatrix}x & y\\ -y & x \end{bmatrix}:(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\right\}\] \[\begin{bmatrix}x_{1} & y_{1}\\ -y_{1} & x_{1} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_{2} & y_{2}\\ -y_{2} & x_{2} \end{bmatrix} \coloneqq\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2} & y_{1}+y_{2}\\ -y_{1}-y_{2} & x_{1}+x_{2} \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix}x_{1} & y_{1}\\ -y_{1} & x_{1} \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_{2} & y_{2}\\ -y_{2} & x_{2} \end{bmatrix} \coloneqq\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} & x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\\ -x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} & x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} \end{bmatrix}\] \[1\equiv\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix},\quad \sqrt{-1}\equiv\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\]
几何表示
直角坐标
\[z=x+\sqrt{-1}y,\quad(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\]
- 实部 \(\mathrm{Re}(z)\coloneqq x\)
- 虚部 \(\mathrm{Im}(z)\coloneqq y\)
- 复共轭 \(z^* \coloneqq x - \sqrt{-1}y\)
极坐标
\[z=\rho\cos\theta+\sqrt{-1}\rho\sin\theta,\quad(\rho,\theta)\in[0,\infty)\times(-\infty,\infty)\]
-
| 模 $$ | z | \equiv\rho\coloneqq\sqrt{zz^*} $$ |
- 辐角 \(\theta \coloneqq \arctan(y/x)\)
- 辐角主值 \(\theta\in[0,2\mathrm{\pi})\)
复平面
复平面默认不含无穷远点，即
\[\mathbb{C}\coloneqq\left\{ x+\sqrt{-1}y:\vert x\vert+\vert y\vert<\infty\right\}\]
复球面
以复平面为赤道面（或与复平面原点相切）的球面。
在复球面上，\(\forall\theta\)，极限 \(\lim_{\substack{\rho\to\infty\\\rho\in\mathbb{R}}}\rho\exp(\sqrt{-1}\theta)\) 趋向同一点，故复球面可记作
\[\overline{\mathbb{C}}\coloneqq\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\}\]
复数序列
基于复数的模，可以定义距离
$$ d(p,q)\coloneqq\vert p-q\vert,\quad\forall(p,q)\in\mathbb{C}^{2}. &&
序列的极限
\[\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall n > N,\abs{z_n - a} < \epsilon\]
Cauchy 收敛准则
若 \(\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall m > N \land n > N,\abs{z_m - z_n} < \epsilon\)，则该序列收敛。
序列的聚点
若某序列的无穷子列收敛，则该子列的极限是原序列的一个聚点，又称极限点。
注. 一个复数序列可以由多个聚点，但至多只能有一个极限。
点集拓扑
基于上述距离定义，可导出 \(\mathbb{C}\) 或 \(\overline{\mathbb{C}}\) 上的拓扑。
点与点集的关系
给定点 \(z\) 与点集 \(D\)：
- 邻域：
- 内点：存在 \(z\) 的充分小邻域，其所有成员点都 \(\in D\)。
- 外点：存在 \(z\) 的充分小邻域，其所有成员点都 \(\notin D\)。
- 边界点：在 \(z\) 的任意邻域内，都既有内点、又有外点。
点集的分类
给定点集 \(D\)：
- 开集：\(D\) 的所有成员点都是 \(D\) 的内点。
- 闭集：\(D\) 是某个开集的补集。
- 闭包：\(D\) 与其所有聚点之集的并。
- 连通性：\(D\) 内任意两点都可通过 \(D\) 的成员点相连。
- 单连通：所有闭合曲线都可以收缩到一点。
- 复连通：非单连通的连通集。
- 区域：连通的开集。
复数级数
复变函数
极限
连续性
函数项级数
多值函数
微分学
可导性
解析性
保角变换
积分学
路径积分
Cauchy 定理
Cauchy 积分公式
Cauchy 型积分
特殊函数
幂级数
Taylor 级数
Laurent 级数
留数定理
留数
定理
定积分
其他应用
