最小作用量原理

广义坐标（速度）

\[\underline{q}\coloneqq\begin{bmatrix}q_1 & \dots & q_n\end{bmatrix}\] \[\underline{\dot{q}} \coloneqq\begin{bmatrix}\dot{q}_1&\dots&\dot{q}_n\end{bmatrix} \coloneqq\begin{bmatrix}\dfrac{\dd{q}_1}{\dd{t}}&\dots&\dfrac{\dd{q}_n}{\dd{t}}\end{bmatrix} \eqqcolon\dv{}{t}\underline{q}\]

作用量的 Lagrangian 形式

\[\boxed{S\coloneqq\int_{t_1}^{t_2}L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t}}\] \[\delta{S}=\int_{t_1}^{t_2}\delta{L}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t} =\int_{t_1}^{t_2}\left(\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\delta{\underline{q}}+\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{\dot{q}}}\right)\dd{t}\]

Lagrange’s 方程

\[\int_{t_1}^{t_2}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{\dot{q}}}\dd{t} =\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\delta{\underline{q}}\right)_{t_1}^{t_2} -\int_{t_1}^{t_2}\left(\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\right)\cdot\delta{\underline{q}}\dd{t}\] \[\boxed{\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}=\pdv{L}{\underline{q}}}\]

【定理】若 $L_{*}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 与 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 只相差一个以 $\underline{q},t$ 为自变量的函数 $f(\underline{q},t)$ 关于 $t$ 的全导数，即

\[L_{*}(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)+\dv{}{t}f(\underline{q},t)\]

则它们给出相同的 Lagrange’s 方程，从而在力学上完全等价。

$L$ 的具体形式

自由质点

\[L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=L(v^{2})\qquad v^{2}\coloneqq\vec{v}\vdot\vec{v}\] \[\boxed{L(\vec{v})=\frac{m}{2}v^{2}}\]

封闭质点系

\[L(\vec{r}_{1},\dots,\vec{r}_{n},\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n},t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_{i}}{2}\vec{v}_{i}^{2}-V(\vec{r}_{1},\dots,\vec{r}_{n})\] \[\boxed{L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)=\tfrac{1}{2}\underline{\dot{q}}\cdot\underline{A}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}-V(\underline{q})}\]

外场的影响

单个质点：

\[m\dv{v}{t}=-\pdv{V}{\vec{r}}\impliedby L=\frac{1}{2}mv^{2}-V(\vec{r},t)\]

质点系：

\[L(\vec{r}_{1},\dots,\vec{r}_{n},\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n},t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_{i}}{2}\vec{v}_{i}^{2}-V(\vec{r}_{1},\dots,\vec{r}_{n},t)\]

对称性 $\Rightarrow$ 守恒律

时间均匀性 $\Rightarrow$ 能量守恒

\[\dv{L(\underline{q},\underline{\dot{q}})}{t}=\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}+\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dv{\underline{\dot{q}}}{t} =\dv{}{t}\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}\right)\] \[\boxed{E\coloneqq\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\underline{\dot{q}}-L=\text{const}}\]

空间均匀性 $\Rightarrow$ 动量守恒

全空间的任意无穷小平移 $\delta\vec{r}\eqqcolon\vec{\epsilon}$ 不改变系统的力学行为，即

\[0=\delta L=\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}_{i}}\vdot\delta\vec{r}_{i}=\vec{\epsilon}\vdot\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}_{i}}=\vec{\epsilon}\vdot\dv{}{t}\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}_{i}}\] \[\boxed{\vec{p}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_{i}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}_{i}}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{v}_{i}=\text{const}}\]

空间各向同性 $\Rightarrow$ 角动量守恒

全空间的任意无穷小旋转 $\delta\vec{\varphi}$ 不改变系统的力学行为，即

\[\begin{aligned}0=\delta L & =\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{r}_{i}}\vdot\delta\vec{r}_{i}+\sum_{i=1}^{n}\pdv{L}{\vec{v}_{i}}\vdot\delta\vec{v}_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\dot{\vec{p}}_{i}\vdot\left(\delta\vec{\varphi}\cross\vec{r}_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_{i}\vdot\left(\delta\vec{\varphi}\cross\vec{v}_{i}\right)\\ & =\delta\vec{\varphi}\vdot\sum_{i=1}^{n}\dv{}{t}\left(\vec{r}_{i}\cross\vec{p}_{i}\right)\eqqcolon\delta\vec{\varphi}\vdot\dv{}{t}\sum_{i=1}^{n}\vec{L}_{i} \end{aligned}\] \[\boxed{\vec{L}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\vec{L}_{i}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\vec{r}_{i}\cross\vec{p}_{i}=\text{const}}\]

Hamilton’s 方程

Legendre’s 变换

Lagrangian 函数 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 关于广义速度的导数被称为广义动量，即

\[\underline{p} \coloneqq\begin{bmatrix}p_1&\dots&p_n\end{bmatrix} \coloneqq\begin{bmatrix}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}&\dots&\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_n}\end{bmatrix} \eqqcolon\pdv{}{\underline{\dot{q}}}L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\]

上述定义式右端是以 $(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 为自变量的（代数）表达式。 若将 $(\underline{q},t)$ 及左端的 $\underline{p}$ 视为已知量，而将 $\underline{\dot{q}}$ 视为未知量，则该定义式可视为关于 $\underline{\dot{q}}$ 的（代数）方程。 从中解得 $ \underline{\dot{q}}=\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t) $，便可将 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 也化作以 $(\underline{q},\underline{p},t)$ 为自变量的表达式，即

\[\tilde{L}(\underline{q},\underline{p},t)\coloneqq \mathopen{L}\left(\underline{q},\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t),t\right)\]

由此可定义 Hamiltonian 函数

\[\boxed{H(\underline{q},\underline{p},t)\coloneqq \underline{p}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(\underline{q},\underline{p},t)- \tilde{L}(\underline{q},\underline{p},t)}\]

其物理意义为系统的能量。 上述由 $L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)$ 导出 $H(\underline{q},\underline{p},t)$ 的过程在数学上被称为 Legendre’s 变换

Hamilton’s 方程

$H(\underline{q},\underline{p},t)$ 的全微分可写成

\[\dd{H} =\dd{(\underline{p}\cdot\underline{\dot{q}}-\tilde{L})} =\underline{p}\cdot\dd{\underline{\dot{q}}}+\underline{\dot{q}}\cdot\dd{\underline{p}} -\pdv{L}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}}-\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\dd{\underline{\dot{q}}}-\pdv{L}{t}\dd{t}\]

利用 $\underline{p}$ 的定义及 Lagrange’s 方程，可得

\[\dd{H} =\pdv{H}{\underline{p}}\cdot\dd{\underline{p}} +\pdv{H}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}} +\pdv{H}{t}\dd{t} =\underline{\dot{q}}\cdot\dd{\underline{p}} -\underline{\dot{p}}\cdot\dd{\underline{q}} -\pdv{L}{t}\dd{t}\]

比较后一个等号两侧 $\dd{\underline{p}},\dd{\underline{q}}$ 系数，即得 Hamilton’s 方程

\[\boxed{\underline{\dot{q}}=+\pdv{H}{\underline{p}}\qquad\underline{\dot{p}}=-\pdv{H}{\underline{q}}}\]

此方程只含一阶导数，且具有很好的对称性，在分析力学中居于核心地位，故又名正则方程 (canonical equations)。

能量守恒

比较 $\dd{t}$ 两侧的系数，可得

\[\boxed{\pdv{H}{t}=-\pdv{L}{t}}\]

其中表示时间的变量 $t$ 可以推广为除了 $p,q$ 以外的任何决定 $L,H$ 的参数。

利用 Hamilton’s 方程，可以将能量守恒条件化为

\[\dv{H}{t} =\cancel{\underline{\dot{q}}\cdot\dv{\underline{p}}{t}-\underline{\dot{p}}\cdot\dv{\underline{q}}{t}} +\boxed{\pdv{H}{t}=0}\]

即 $H$ 不显含时间。

作用量的 Hamiltonian 形式

边界条件的作用

真实运动所对应的作用量 $S=\int_{t_1}^{t_2} L(\underline{q},\underline{\dot{q}},t)\dd{t}$ 可以被视为由始末时刻 $t_1,t_2$ 及位置 $\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2)$ 所确定的量，即

\[S=\mathopen{S}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right)\]

若固定 $t_1,t_2$ 但允许 $\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2)$ 变化，则

\[\delta{S} =\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_2) +\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1) =\int_{t_1}^{t_2}\left(\pdv{L}{\underline{q}}-\dv{}{t}\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\right)\cdot\mathopen{\delta}\underline{q}\dd{t} +\left(\pdv{L}{\underline{\dot{q}}}\cdot\mathopen{\delta}\underline{q}\right)_{t_1}^{t_2}\]

真实轨道应满足 Lagrange’s 方程，故被积函数为零；边界项中的偏导数可以用广义动量替换，因此有

\[\delta{S} =\mathopen{\underline{p}}(t_2)\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_2) -\mathopen{\underline{p}}(t_1)\cdot\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1)\]

比较系数，即得

\[\mathopen{\underline{p}}(t_2)=+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\qquad \mathopen{\underline{p}}(t_1)=-\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}\]

将上式代入关于 $t_2,t_1$ 全导数（依次固定 $t_1,t_2$ 并利用变上、下限积分的导数公式）

\[\dv{S}{t_2}=+L(t_2)=\pdv{S}{t_2}+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_2)}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_2)\qquad \dv{S}{t_1}=-L(t_1)=\pdv{S}{t_1}+\pdv{S}{\mathopen{\underline{q}}(t_1)}\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_1)\]

并利用 $H=\underline{p}\cdot\underline{\dot{q}}-L$，可得

\[\pdv{S}{t_2}=-H(t_2)\qquad\pdv{S}{t_1}=+H(t_1)\]

将它们代回关于 $t_2,t_1$ 全导数，即得

\[\dv{S}{t_2}=+\mathopen{\underline{p}}(t_2)\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_2)-H(t_2)\qquad \dv{S}{t_1}=-\mathopen{\underline{p}}(t_1)\cdot\mathopen{\underline{\dot{q}}}(t_1)+H(t_1)\]

作用量 $\mathopen{S}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right)$ 的全微分（允许 $t_1,t_2$ 一起变化）应当是这两个微商与各自时间微元的乘积之和，即

\[\boxed{\mathopen{\dd{S}}\left(\mathopen{\underline{q}}(t_1),\mathopen{\underline{q}}(t_2),t_1,t_2\right) =\left(\mathopen{\underline{p}}(t)\cdot\mathopen{\dd{\underline{q}}}(t)-H(t)\dd{t}\right)_{t_1}^{t_2}}\]

该式表明：真实轨道必须使右端表达式为全微分。

微分与积分形式

特别地，若取定初始位置（即 $\mathopen{\delta}\mathopen{\underline{q}}(t_1)=0$）并省略 $t_2$ 的下标，则有

\[\dd{S}=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\implies \boxed{S=\int\left(\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\right)}\]

将 $\underline{p},\underline{q}$ 视为 $S$ 的独立变量，利用最小作用量原理 $\delta S=0$，可重新导出 Hamilton’s 方程。

Maupertuis’ 原理

只考虑满足能量守恒 $ H(\underline{p},\underline{q})=E $ 的系统。 若取定初始时刻 $t_0$ 及始末位置 $\mathopen{\underline{q}}(t_0),\mathopen{\underline{q}}(t)$ 且允许终止时刻 $t$ 变化，则有

\[\delta{S}=-H(\underline{p},\underline{q})\,\delta{t}=-E\,\delta{t}\]

另一方面，对作用量的 Hamiltonian 形式

\[S=-(t-t_0)E+\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}\]

作变分，可得

\[\delta{S}=-E\,\delta{t}+\delta{S_0}\qquad S_0\coloneqq\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}\]

其中 $S_0$ 被称为简约作用量。消去 $\delta{S}=-E\,\delta{t}$，就得到 Maupertuis’ 原理

\[\delta{S_0}\equiv\boxed{\delta{\int_{t_0}^t\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}}=0}\]

基于该原理，可以解出轨道，即不含时间的曲线方程。具体做法如下：

1. 由 $E=E(\underline{q},\underline{\dot{q}})$ 解出 $\dd{t}$，将 $\dd{t}$ 表示成以 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 为自变量的函数。
2. 将上述 $\dd{t}$ 代入 $\underline{p}=\partial L/\mathopen{\partial}\underline{\dot{q}}$，将 $\underline{p}$ 也表示成以 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 为自变量的函数。
3. 将上述 $\underline{p}$ 代入 $\delta{S_0}=0$，即得 $\underline{q},\dd{\underline{q}}$ 所应满足的方程，此即轨道方程。

例：对于典型系统

\[L=\tfrac12\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}-U(\underline{q})\qquad \underline{p}=\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\qquad E=\tfrac12\underline{\dot{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{\dot{q}}+U(\underline{q})\]

上述步骤给出

\[\begin{aligned} \dd{t}=\sqrt{\frac{\underline{q}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\underline{q}}{2(E-U(\underline{q}))}} &\implies \underline{p}\cdot\dd{\underline{q}} =\frac{\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}{\dd{t}} =\sqrt{2(E-U(\underline{q}))\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}\\ &\implies\boxed{\delta\int_{t_0}^t\sqrt{2(E-U(\underline{q}))\dd{\underline{q}}\cdot\mathopen{\underline{A}}(\underline{q})\cdot\dd{\underline{q}}}=0} \end{aligned}\]

正则变换

正则变换条件

一般的变量替换

\[\underline{\tilde{q}}=\mathopen{\underline{\tilde{q}}}(\underline{q},\underline{p},t)\qquad \underline{\tilde{p}}=\mathopen{\underline{\tilde{p}}}(\underline{q},\underline{p},t)\]

不能保证新的运动方程仍具有正则形式，即

\[\underline{\dot{\tilde{q}}}=+\pdv{\tilde{H}}{\underline{\tilde{p}}}\qquad\underline{\dot{\tilde{p}}}=-\pdv{\tilde{H}}{\underline{\tilde{q}}}\]

但满足如下条件

\[\boxed{(\exists F)\left(\dd{F}=\dd{S}-\dd{\tilde{S}}\right)}\qquad \begin{cases} \dd{S}=\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}}-H\dd{t}\\ \dd{\tilde{S}}=\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}-\tilde{H}\dd{t} \end{cases}\]

的变换能够保持方程的正则性，因此该条件被称为正则变换条件，其中 $F=F(\underline{q},\underline{p},\underline{\tilde{q}},\underline{\tilde{p}},t)$ 被称为该变换的生成函数。 这是因为，变换前后的作用量 $S,\tilde{S}$ 能分别导出 Hamilton’s 方程，并且二者之差 $S-\tilde{S}=\left.F\right|_{t_1}^{t_2}$ 为不影响变分的常数。

正则变换公式

将正则变换条件

\[\dd{F} =\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}} -\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}} +(\tilde{H}-H)\dd{t}\]

与全微分

\[\dd{F} =\pdv{F}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}} +\pdv{F}{\underline{\tilde{q}}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}} +\pdv{F}{t}\dd{t}\]

比较系数，可得第一种正则变换公式：

\[\boxed{\underline{p}=\pdv{F}{\underline{q}}\qquad \underline{\tilde{p}}=-\pdv{F}{\underline{\tilde{q}}}\qquad \tilde{H}-H=\pdv{F}{t}}\]

其中生成函数 $F$ 只依赖于 $\underline{q},\underline{p},t$；若要获得只依赖于 $\underline{q},\underline{\tilde{p}},t$ 的生成函数，则需对正则变换条件作 Legendre’s 变换：

\[\dd{\varPhi}\coloneqq\dd{(F+\underline{\tilde{p}}\cdot\underline{\tilde{q}})} =\underline{p}\cdot\dd{\underline{q}} +\underline{\tilde{q}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}} +(\tilde{H}-H)\dd{t}\]

并与全微分

\[\dd{\varPhi} =\pdv{\varPhi}{\underline{q}}\cdot\dd{\underline{q}} +\pdv{\varPhi}{\underline{\tilde{p}}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}} +\pdv{\varPhi}{t}\dd{t}\]

比较系数，由此得第二种正则变换公式：

\[\boxed{\underline{p}=\pdv{\varPhi}{\underline{q}}\qquad \underline{\tilde{q}}=\pdv{\varPhi}{\underline{\tilde{p}}}\qquad \tilde{H}-H=\pdv{\varPhi}{t}}\]

类似地，可得另外两种母函数及相应的正则变换公式：

\[\dd{G}\coloneqq\dd{(F-\underline{p}\cdot\underline{q})}=-\underline{q}\cdot\dd{\underline{p}}-\underline{\tilde{p}}\cdot\dd{\underline{\tilde{q}}}+(\tilde{H}-H)\dd{t}\] \[\boxed{\underline{q}=-\pdv{G}{\underline{p}}\qquad\underline{\tilde{p}}=-\pdv{G}{\underline{\tilde{q}}}\qquad\tilde{H}-H=\pdv{G}{t}}\] \[\dd{\varPsi}\coloneqq\dd{(\varPhi-\underline{p}\cdot\underline{q})}=-\underline{q}\cdot\dd{\underline{p}}+\underline{\tilde{q}}\cdot\dd{\underline{\tilde{p}}}+(\tilde{H}-H)\dd{t}\] \[\boxed{\underline{q}=-\pdv{\varPsi}{\underline{p}}\qquad\underline{\tilde{q}}=\pdv{\varPsi}{\underline{\tilde{p}}}\qquad\tilde{H}-H=\pdv{\varPsi}{t}}\]

正则共轭变量

Liouville’s 定理

【引理】真实运动所引起的正则共轭变量 $\underline{q},\underline{p}$ 的变化，可以看作一系列正则变换累加的结果。

Liouville’s 定理：相空间中任意点集的测度不随这些点的（满足力学定律的真实）运动而变化。

Poisson 括号

定义

给定两个依赖于 $(\underline{p},\underline{q})$ 的函数 $f(\underline{p},\underline{q}),g(\underline{p},\underline{q})$，它们的 Poisson 括号是指

\[\boxed{\{f,g\}\coloneqq\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\pdv{g}{\underline{q}}-\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\pdv{g}{\underline{p}}}\]

于是 $f(\underline{p},\underline{q})$ 关于 $t$ 的全导数可以被改写为

\[\dv{f}{t} =\pdv{f}{t}+\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\underline{\dot{p}}+\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\underline{\dot{q}} =\pdv{f}{t}-\pdv{f}{\underline{p}}\cdot\pdv{H}{\underline{q}}+\pdv{f}{\underline{q}}\cdot\pdv{H}{\underline{p}} =\pdv{f}{t}+\{H,f\}\]

⚠️ 某些文献将上述定义中的 $p,q$ 互换，所得结果与这里正好相差一个负号。这种差别不是实质性的，只要上下文保持一致即可。

恒等式

\[\{f,g\}=\{g,f\}\qquad\{f,1\}=0\] \[\{f_1+f_2,g\}=\{f_1,g\}+\{f_2,g\}\qquad\{f,g_1+g_2\}=\{f,g_1\}+\{f,g_2\}\] \[\{f_1f_2,g\}=f_1\{f_2,g\}+\{f_1,g\}f_2\qquad\{f,g_1g_2\}=g_1\{f,g_2\}+\{f,g_1\}g_2\] \[\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0\] \[\{f,q_i\}=\pdv{f}{p_i}\qquad\{p_i,f\}=\pdv{f}{q_i}\qquad \{q_i,q_k\}=0\qquad\{p_i,p_k\}=0\qquad\{p_i,q_k\}=\delta_{ik}\]

运动积分

定理：若 $f(\underline{p},\underline{q}),g(\underline{p},\underline{q})$ 均为运动积分，则 ${f,g}$ 亦为运动积分，即

\[\left(\dv{f}{t}=0\right)\land\left(\dv{g}{t}=0\right)\implies\dv{}{t}\{f,g\}=0\]

正则变换条件

\[\{f,g\}_{\underline{p},\underline{q}}=\{f,g\}_{\underline{\tilde{p}},\underline{\tilde{q}}}\] \[\{\tilde{q}_{i},\tilde{q}_{k}\}_{\underline{p},\underline{q}}=0\qquad\{\tilde{p}_{i},\tilde{p}_{k}\}_{\underline{p},\underline{q}}=0\qquad\{\tilde{p}_{i},\tilde{q}_{k}\}_{\underline{p},\underline{q}}=\delta_{ik}\]

Hamilton–Jacobi 方程

\[\boxed{\frac{\partial S}{\partial t}+\mathopen{H}\left(\underline{q},\frac{\partial S}{\partial\underline{q}},t\right)=0}\]