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黑体 (black body)：将射在其上的电磁波完全吸收的物体（如：空腔）。
温度为 $T$ 的黑体，会以电磁波的形式向外释放能量（如：空腔内壁向空腔内部放出电磁辐射），用 $E_{\nu} \dd{\nu}$ 表示该温度下、单位体积内、频率介于 $(\nu,\nu+\dd{\nu})$ 之间的电磁波的能量。
Wien (1896) 从热力学理论出发，并结合实验数据，给出了在高频段与实验符合较好、在低频段与实验偏离较大的半经验公式：
\[E_{\nu}=C_{1}\nu^3\exp(-C_{2}\nu/T)\]Jeans–Rayleigh 基于电磁驻波理论，给出了在低频段与实验符合较好、在高频段与实验偏离较大的公式：
\[E_{\nu}=(8\pi/c^3)(kT)\nu^2\sim T\nu^2\]Max Planck (1900) 基于 Wien’s 公式猜出以下（正确的）公式：
\[\boxed{E_{\nu}=\frac{C_{2}k\nu}{\exp(C_{2}k\nu/kT)-1}\frac{C_{1}\nu^{2}}{C_{2}k}}\]其中
\[\bar{\varepsilon}_{\nu}\coloneqq\frac{C_{2}k\nu}{\exp(C_{2}k\nu/kT)-1}\qquad N_{\nu}\coloneqq\frac{C_{1}\nu^{2}}{C_{2}k}\]分别表示频率介于 $(\nu,\nu+\dd{\nu})$ 之间的允许模式的平均能量与个数。
Albert Einstein (1905) 提出：频率为 $\nu$ 的光由大量能量为 $h\nu$ 的光量子 (quanta of light) 组成。由能量守恒及动能非负
\[\boxed{h\nu-A=\frac{1}{2}mv^{2}\ge0}\]可得临界频率
\[\nu_{0}\coloneqq A/h\le\nu\]基于狭义相对论，Einstein 又 (1915) 提出：光量子的静止质量为零，从而有
\[\vert\Vec{p}\vert=p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{2\mathrm{\pi}}\frac{2\mathrm{\pi}}{\lambda}=\hbar k=\hbar\vert\Vec{k}\vert\]后世称这种粒子为光子 (photon)。
考虑 $r=R$ 的圆轨道，并引入角动量
\[\Vec{L}=\Vec{r}\times m\Vec{v}\implies L=R\cdot mR\dv{\theta}{t}=mR^{2}\dv{\theta}{t}\]代入
\[E_{n}=\frac{mR^{2}}{2}\left(\dv{\theta}{t}\right)^{2}-\frac{e^{2}}{R}=\frac{L^{2}}{2mR^{2}}-\frac{e^{2}}{R}=\frac{e^2}{2R}\]即得
\[\boxed{L=\frac{nh}{2\mathrm{\pi}}=n\hbar\qquad n=1,2,3,\dots}\]Sommerfeld 量子化条件：
\[\boxed{\oint p\dd{q}=n\hbar\qquad n=1,2,3,\dots}\]Werner Heisenburg (1925) 指出：物理理论应该在建立在与实验观测紧密关联的物理量上。所有可观测的物理量都与两条（而非一条）Bohr 轨道关联。
以氢原子光谱为例：氢原子从第 $m$ 态到第 $n$ 态跃迁所放出的电磁波的频率为 $\nu_{mn} $，所有这样的（由两个状态决定的）频率可写成如下（无穷维）矩阵
\[\hat{\nu}=\begin{bmatrix}\nu_{11} & \cdots & \nu_{1n} & \cdots\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \nu_{m1} & \cdots & \nu_{mn} & \cdots\\ \vdots & & \vdots & \ddots \end{bmatrix}\]Pascaul Jordan 与 Max Born 利用一维谐振子的特性，得到
\[[\hat{x},\hat{p}]\equiv\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=\sqrt{-1}\hbar\]Paul Dirac 回忆起，分析力学中的 Poisson’s 括号
\[\{u,v\}\coloneqq\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}}\frac{\partial v}{\partial p_{i}}-\frac{\partial u}{\partial p_{i}}\frac{\partial v}{\partial q_{i}}\right)\]亦满足类似的恒等式。根据这种相似性，Dirac 提出了如下 Dirac’s 方程
\[[\hat{u},\hat{v}]=\{u,v\}\hat{D}\]量子力学基本关系式：
\[[\widehat{q_{i}},\widehat{q_{j}}]=\hat{0}\qquad[\widehat{p_{i}},\widehat{p_{j}}]=\hat{0}\qquad[\widehat{q_{i}},\widehat{p_{j}}]=\mathrm{\delta}_{ij}\hat{D}\]基于光子概念，Louis de Broglie (1924) 在其博士论文中（大胆地）提出了一般粒子也具有波粒二象性的假设：
上述假设后来被电子双缝干涉等实验所证实。
Erwin Schrödinger (1927) 从 de Broglie’s 平面波这一特例出发，导出了如下Schrödinger 方程：
\[\mathrm{i}\hbar\pdv{}{t}\psi(\Vec{r},t)=\left(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\Vec{r})\right)\psi(\Vec{r},t)\]满足此方程的波函数 $\psi(\Vec{r},t)$ 描述了单个粒子的一种许可状态。
波函数的物理意义至今仍无定论。目前最主流的观点是 Max Born (1926) 提出的统计解释 (statistical interpretation)：
几率密度满足连续性方程，即
\[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\divg\Vec{\jmath}=0\]其中
\[\rho\coloneqq\psi^{*}\psi\equiv\vert\psi\vert^{2}\qquad\Vec{\jmath}\coloneqq\frac{-\mathrm{i}\hbar}{2m}(\psi^{*}\grad\psi-\psi\grad\psi^{*})\]公理：若波函数 $\psi_{1},\psi_{2}$ 描述了某量子系统的两种许可态，则波函数 $C_{1}\psi_{1}+C_{2}\psi_{2}$ 亦为该系统的一种许可态，其中 $C_{1},C_{2}$ 为复常数。
干涉 (interference)：一般而言，几率密度 $ \psi^{*}\psi $ 不满足叠加原理，而是遵循以下法则：
\[\begin{aligned}\vert C_{1}\psi_{1}+C_{2}\psi_{2}\vert^{2} & =(C_{1}\psi_{1}+C_{2}\psi_{2})^{*}\,(C_{1}\psi_{1}+C_{2}\psi_{2})\\ &=\underbrace{(C_{1}\psi_{1})^{*}\,(C_{1}\psi_{1})}_{\rho_{1}} +\underbrace{(C_{2}\psi_{2})^{*}\,(C_{2}\psi_{2})}_{\rho_{2}}\\ &+\underbrace{(C_{1}\psi_{1})^{*}\,(C_{2}\psi_{2}) +(C_{2}\psi_{2})^{*}\,(C_{1}\psi_{1})}_{\rho_{1,2}} \end{aligned}\]其中 $\rho_{1,2}$ 就体现了波的干涉。
根据态叠加原理，一个量子系统的所有许可态构成了一个 $\mathbb{C}$ 上的线性空间，用 $X$ 表示。
【向量】$X$ 中的每一个状态 $\psi(\Vec{r},t)$ 都是一个向量，记作 $\vert\psi\rangle$，称为态矢量 (state vector)。
【基底】若存在 $X$ 中的一组线性独立的状态 $\begin{Bmatrix} \vert\psi_{\alpha}\rangle \end{Bmatrix}_{\alpha\in A}$，使得 $X$ 中的任何一个矢量 $\vert\psi\rangle$ 都可以表示成它们的线性组合，即
\[\vert\psi\rangle=\sum_{\alpha\in A}C_{\alpha}\mathinner{\vert\psi_{\alpha}\rangle}\]则称 $\begin{Bmatrix} \vert\psi_{\alpha}\rangle \end{Bmatrix}_{\alpha\in A}$ 为 $X$ 的一组基底 (basis)，其中每一个 $\vert\psi_{\alpha}\rangle$ 为一个基矢量 (basis vector)。
【维数】一般而言，指标集 $A$ 含有无穷多个成员，因此线性空间 $X$ 通常是无穷维的。
【内积】
\[\langle u\vert v\rangle\coloneqq\int_{-\infty}^{+\infty}u^{*}(x)\,v(x)\dd{x}\]【平方可积】
\[\langle \psi\vert \psi\rangle\coloneqq\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\,\psi(x)\dd{x}<\infty\]一维驻波的波函数 $\psi(x)$ 总是可以展开为 $\begin{Bmatrix} \psi_{\alpha}(x)\coloneqq\mathrm{\delta}(x-\alpha) \end{Bmatrix}_{\alpha\in\mathbb{R}}$ 的线性组合：
\[\psi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(\alpha)\,\mathrm{\delta}(x-\alpha)\dd{\alpha}=\int_{-\infty}^{+\infty}C_{\alpha}\,\psi_{\alpha}(x)\dd{\alpha}\]指标 $\alpha$ 与函数 $\psi_{\alpha}$ 一一对应，故可引入简化记号
\[\vert\alpha\rangle\coloneqq\vert\psi_\alpha\rangle\qquad\langle\alpha\vert\coloneqq\langle\psi_\alpha\vert\]从而有
\[\boxed{\psi(\alpha)=\langle\psi_\alpha\vert\psi\rangle=\langle\alpha\vert\psi\rangle}\qquad\boxed{\mathrm{\delta}(x-\alpha)=\psi_\alpha(x)=\langle x\vert\psi_\alpha\rangle=\langle x\vert\alpha\rangle}\]于是，可将波函数的展开式改写为
\[\langle x\vert\psi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha\vert\psi\rangle\langle x\vert\alpha\rangle\dd{\alpha}=\langle x\vert\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\dyad{\alpha}\dd{\alpha}\right)\vert\psi\rangle\]比较两端可发现完备性条件 (completeness condition)：
\[\boxed{\hat{1}=\int_{-\infty}^{+\infty}\dyad{\alpha}\dd{\alpha}}\]一维驻波 $\psi(x)$ 除了可以按坐标分解，还可以按波数分解为无穷多个简谐驻波的线性组合：
\[\psi(x)\doteq\int_{-\infty}^{+\infty}\tilde{\psi}(k)\frac{\exp(+\mathrm{i} kx)}{\sqrt{2\mathrm{\pi}}}\dd{k}\qquad\tilde{\psi}(k)\coloneqq\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)\frac{\exp(-\mathrm{i} kx)}{\sqrt{2\mathrm{\pi}}}\dd{x}\]在数学中，此二式被称为 Fourier 变换对。
坐标空间 $\mathbb{R}(x)$ 上的函数 $\psi(x)$ 与波数空间 $\mathbb{R}(k)$ 上的函数 $\tilde{\psi}(k)$ 可以被看作同一个对象 $\vert\psi\rangle$ 的两种几乎等价的表象 (representation)。
在量子力学中，更常用的是动量表象，它可以通过将 de Broglie 关系 $\Vec{p}=\hbar\Vec{k}$ 代入 Fourier 变换对得到：
\[\boxed{\begin{gathered}\tilde{\psi}(\Vec{p})=\langle\Vec{p}\vert\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^{n}(\Vec{r})}\langle\Vec{p}\vert\Vec{r}\rangle\langle\Vec{r}\vert\psi\rangle\qquad\psi(\Vec{r})=\langle\Vec{r}\vert\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^{n}(\Vec{p})}\langle\Vec{r}\vert\Vec{p}\rangle\langle\Vec{p}\vert\psi\rangle\\ \langle\Vec{p}\vert\Vec{r}\rangle\coloneqq\frac{\exp(-(\mathrm{i}/\hbar)\,\Vec{p}\vdot\Vec{r})}{(2\mathrm{\pi}\hbar)^{n/2}}\qquad\langle\Vec{r}\vert\Vec{p}\rangle\coloneqq\frac{\exp(+(\mathrm{i}/\hbar)\,\Vec{p}\vdot\Vec{r})}{(2\mathrm{\pi}\hbar)^{n/2}} \end{gathered} }\]这里为了保证 $\Vec{r}$ 与 $\Vec{p}$ 的对称性 $\langle\Vec{p}\vert\Vec{r}\rangle=\langle\Vec{r}\vert\Vec{p}\rangle^{*}$，在 $\langle\Vec{p}\vert\Vec{r}\rangle$ 与 $\langle\Vec{r}\vert\Vec{p}\rangle$ 之间重新分配了系数。
定态 Schrödinger 方程
\[\left(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{\dd{}^{2}}{\dd{x}^{2}}+\frac{m\omega_{0}^{2}}{2}x^{2}\right)\phi(x)=E\,\phi(x)\qquad\omega_{0}\coloneqq\sqrt{\frac{k}{m}}\]在 $x\to\infty$ 处的渐进解为
\[\tilde{\phi}_{+}(x)=\exp\mathopen{}\left(+\frac{m\omega_{0}}{2\hbar}x^{2}\right)\qquad\tilde{\phi}_{-}(x)=\exp\mathopen{}\left(-\frac{m\omega_{0}}{2\hbar}x^{2}\right)\]只有 ${\tilde{\phi}}_{-}$ 满足 $\lim_{x\to\infty}\phi(x)=0$ 的条件。
令 $\phi(x)=X(x)\,\tilde{\phi}_{-}(x)$ 即 $\phi(x)=X(x)\,\exp\mathopen{}\left(-\frac{m\omega_{0}}{2\hbar}x^{2}\right)$，代入定态 Schrödinger 方程，可得
\[\left(\frac{\hbar}{m\omega_{0}}\frac{\dd{}^{2}}{\dd{x}^{2}}-2x\frac{\dd{}}{\dd{x}}+2\alpha\right)X(x)=0\qquad\alpha\coloneqq\frac{E}{\hbar\omega_{0}}-\frac{1}{2}\]利用 $\tilde{x}\coloneqq\sqrt{m\omega_{0}/\hbar}\,x$ 及 $u(\tilde{x})\coloneqq X(x(\tilde{x}))$ 可将导数的系数可归一化，即
\[\left(\frac{\dd{}^{2}}{\dd{\tilde{x}}^{2}}-2\tilde{x}\frac{\dd{}}{\dd{\tilde{x}}}+2\alpha\right)u(\tilde{x})=0\]此即 Hermite 方程，它有两个线性独立的幂级数形式解：
\[\begin{aligned}u_{s=1}(\tilde{x}) & =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k-(1+\alpha)/2}{k}\frac{4^{k}\,k!}{(2k+1)!}\tilde{x}^{2k+1}\\ u_{s=0}(\tilde{x}) & =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k-(1+\alpha/2)}{k}\frac{4^{k}\,k!}{(2k+0)!}\tilde{x}^{2k+0} \end{aligned}\]根据几率解释，波函数 $\phi(x)=X(x)\exp\mathopen{}\left(-\frac{m\omega_{0}}{2\hbar}x^{2}\right)$ 应满足平方可积条件，即
\[\begin{aligned}\langle\phi\vert\phi\rangle & =\int_{-\infty}^{\infty}X^{*}(x)\,X(x)\exp\mathopen{}\left(-\frac{m\omega_{0}}{\hbar}x^{2}\right)\dd{x}\\ & =\frac{\dd{x}}{\dd{\tilde{x}}}\int_{-\infty}^{\infty}u^{*}(\tilde{x})\,u(\tilde{x})\exp(-\tilde{x}^{2})\dd{\tilde{x}}\\ & =\frac{\langle u\vert u\rangle_{w}}{\sqrt{m\omega_{0}/\hbar}}<+\infty\qquad w(\tilde{x})\coloneqq\exp(-\tilde{x}^{2}) \end{aligned}\]故 Hermite 方程的解 $u(\tilde{x})$ 应满足（以 $w(\tilde{x})$ 为权的）平方可积条件，由此得：本征值 $2\alpha$ 只能取非负偶数，这使得能量 $E$ 只能取分立值：
\[\boxed{E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_{0}\qquad n\in\mathbb{N}}\]此时 $u(\tilde{x})$ 被截断为 $n$ 次 Hermite 多项式 $\mathrm{H}_{n}(\tilde{x})$，相应的波函数为
\[\phi_{n}(x)=\mathopen{\mathrm{H}_{n}}\left(\sqrt{\frac{m\omega_{0}}{\hbar}}x\right)\exp\mathopen{}\left(-\frac{m\omega_{0}}{2\hbar}x^{2}\right)\qquad n\in\mathbb{N}\]