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二进制小数

\[b \coloneqq (b_{m}\,b_{m-1}\cdots b_{1}\,b_{0}\,.\,b_{-1}\,b_{-2}\cdots b_{1-n}\,b_{-n})_2 = \sum_{k=-n}^m 2^k \times b_k\]

IEEE 754

\[V \coloneqq \left(s\,\underbrace{e_{k-1}\cdots e_{1}\,e_{0}}_{e}\,\overbrace{f_{-1}\,f_{-2}\cdots f_{-n}}^{f}\right)_2 = (-1)^s \times 2^{E(e)} \times M(f)\]

其中

• $e$ 为 $k$ 位二进制整数，其值为 $\sum_{i=0}^{k-1}2^i\times e_i$
• $f$ 为 $n$ 位二进制小数，其值为 $\sum_{i=1}^n 2^{-i}\times f_{-i}$
• 单精度 $k+n=8+23$
• 双精度 $k+n=11+52$

记 $b \coloneqq 2^{k-1} - 1$，则除特殊值外

• $E(e) \coloneqq (e \mathbin{?} e : 1) - b$
• $M(f) \coloneqq (e \mathbin{?} 1 : 0) - b$

根据 $e$ 的取值，可分为三种情形：

	退化情形	常规情形	特殊值
$(e_i)_{i=0}^{k-1}$	全为 $0$	既有 $0$ 又有 $1$	全为 $1$
$e$	$0$	$\sum_{i=0}^{k-1}2^i e_i\in[1,2^k-2]$	$\sum_{i=0}^{k-1}2^i=2^k-1$
$E$	$1-b$	$e-b$
$M$	$0+f=\sum_{i=1}^n 2^{-i}f_{-i}$	$1+f=1+\sum_{i=1}^n 2^{-i}f_{-i}$
$\vert V\vert$	$2^{1-b}\times(0+f)$	$2^{e-b}\times(1+f)$	$ f \mathbin{?} \text{NaN} : \infty$
$\min$	$0$	$2^{1-b}$
$\max$	$2^{1-b}(1-2^{-n})$	$2^b(2-2^{-n})$